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资源类别: 教案库 > 数学教案 > 高一数学教案
教材版本: 苏教版
文件格式: WORD文档
文件大小: 794KB
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更新时间: 2009-09-22
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  资源简介
    1.3三角函数的图象和性质
    1.3.1三角函数的周期性
    [教学目标]
    一、知识与技能
    了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。
    二、过程与方法
    从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究三角函数的性质,最后运用三角函数的性质去解决问题。
    三、情感、态度与价值观
    培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。
    [教学重点]
    周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。
    [教学难点]
    周期函数的概念
    [设计思路]
    创设情境,从自然界中的周期现象出发,通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念。
    在研究P点的圆周运动时,给出了y=f(t)的图象;并在研究了三角函数的周期后,给出了y=sinx的图象,让学生从图象上对函数的周期加深理解,让学生体会数形结合的思想。
    在讲解例2时,充分利用解方程的思想,让学生更易理解。

    [教学过程]
    一、创设情境
    每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。
    二、学生活动
    (P点的圆周运动)如图,点P自点A起,绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。点P的运动轨迹是:
    A-B-C-D-A-B-C-D- A-B-C-D-A-B ……
    显然点P的运动是周期运动。
    设圆的半径为2,每4分钟运动一周。设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为 y=f(t).
    则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= ……=0,(位置在A点)
    f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= ……=4,(位置在C点)
    一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:f(t+4)=f(t)
    想一想:f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?说明它们的实际意义。
    [f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同]
    可以用描点法画出这个函数的图象(如图)
    它的特征是:在区间(0,4)(4,8)(8,12) …内重复。

    我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。
    三、建构数学
    一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)= f(x)。
    (一)、周期函数及周期的定义
    周期函数定义如下:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)= f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
    前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……
    (二)、最小正周期的概念.
    对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
    注意
    今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期. 显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.
    (三)、三角函数的周期
    思考:正弦函数y=sinx是周期函数吗?即能否找到非零常数T,使sin(T+x)= sinx成立?
    [sin(2π+x)=sinx,sin(4π+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2π(最小正值)]
    用几何画板展示周期函数y=sinx的图象,使学生感知其特征。
    讨论:余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数,并找出它们的周期。 [周期分别是2π、π]
    四、数学运用
    例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。
    求该函数的周期;
    求t=10s时钟摆的高度。

    分析:周期可由两顶点间距离确定,此函数周期T=1.5;
    根据函数的周期性,f(10)=f(10-1.5)=f(10-2·1.5)= ……=f(10-1.5k)(其中k为整数),直到10-1.5k=1或2.5为止,即f(10)=f(1)=20.
    解:(略)
    例2 求函数f(x)=cos3x的周期。
    解:设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π),f(x+T)=cos3(x+T)
    由f(x)= f(x+T)得,3x+2π=3(x+T),解得T=2π/3.
    ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.
    注意:①运用了换元方法,u=3x;②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π;即cosu=cos(u+2π);③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立,所以3x+2π=3(x+T);④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。
    例3.求下列函数的最小正周期T.
    (1)
    (2)
    (3)
    解:(1)
    (2)
    ∴ 函数的最小正周期为π.
    (3)
    ∴ 函数的最小正周期为4π.
    总结一般规律:的最小正周期是.
    令 ,由的周期是,

    因而自变量只要并且至少要增加到,即。
    例4.求证:(1)的周期为π;
    (2)
    证明:(1)

    (2)

    总结:(1)一般函数周期的定义
    (2)周期求法
    尝试练习
    (1)求g(x)=2sin()的周期。
    (2)证明函数(其中为常数,且)的周期.
    结论:一般的,周期函数y=Asin(ωx+ )及y=Acos(ωx+ )(其中A,ω,为常数,且A≠0,ω>0)的周期T= .
    学生练习:
    课本P27页 练习1、2、3、4
    五、回顾反思
    通过这节课的学习,你有哪些收获?

    1.周期函数、周期概念。
    一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

    2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.
    3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π.
    4. 周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期的求法。





    六、课外作业:
    1、举例说明周期现象。.
    2.、课本P45页 习题1.3 第1题
    3、设m、p、q为自然数,m除以5所得的商是p且余数是q(q<5). 显然q是m的函数,记q=f(m). (1)写出这函数的值域;(2)这函数是周期函数吗?若是,则写出周期;若不是,则说明理由。
    七、设计说明:
    1、由可感受、能理解的实例出发,感性的认识周期函数的概念。
    比如创设情境,从自然界中的周期现象出发,建立P点的圆周运动这一模型 。本节课的难点在于周期函数概念的理解,因此在讲解概念之前,通过现实情境帮助理解周期运动,在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。
    2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念,体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。
    3、新课程的一个重要理念就是“用教材教,而不是教教材”。在处理例2的过程中,由于课本的解法学生不太易理解,所以,我利用解方程的思想,根据周期函数的概念列出方程,解出周期T,从而降低了难度。
    4、在教学过程中,我设计一些思考与练习,变由老师讲解为学生思考、探究,发展了学生的思维能力。


    1.3.2三角函数的图象和性质(一)

    课型:新授课
    课时计划:本课题共安排一课时
    教学目标:
    1、能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象
    2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法,并会用此方法画出上的正弦曲线、余弦曲线
    教学重点:
    正、余弦函数的图象的画法
    教学难点:
    借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象


    教学过程:
    创设情境,引入新课
    为了更加直观地研究三角函数的性质,可以先作出它们的图象,那么该怎样作出正、余弦函数的图象?


    新课讲解

    1、正弦函数图象的画法
    先画正弦函数的图象。由于是以为周期的周期函数,故只要画出在上的图象,然后有周期性就可以得到整个图象。
    (1)几何法:利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象
    (注:如何作出函数图象上的一个点,如点?
    不妨设,如图所示,在单位圆中设弧的长为,则。所以点是以弧的长为横坐标,正弦线的数量为纵坐标的点。)
    作法步骤:将单位圆十二等份,相应地把轴上从0到这一段分成12等份。把角的正弦线向右平移使它的起点与轴上表示的点重合,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数在区间上的图象。
    最后只要将函数, 的图象向左、右平移(每次个单位),就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。









    (2)五点法:在函数的图象上,有5个关键点:,注意正弦曲线的走向,将这五点用光滑的曲线连接起来,可得函数的简图。




    2、余弦函数图象的画法
    (1)几何画法:利用余弦线来作出余弦函数的图象





    (2)由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到
    由 可知将的图象向左平移个单位几得到的图象。









    五点法:在函数,的图象上,五个关键点为,利用此五点作出的简图。





    三、例题剖析:
    例1、用五点法画出下列函数的简图:
    (1), (2),
    解:(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:
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